Der in Würzburg geborene lyrische Tenor, erhielt seine Gesangsausbildung in seiner Heimatstadt und wurde zu seinem ersten Engagement an das Saarländische Staatstheater
Saarbrücken geführt. Seit der Spielzeit 1988 ist er im Ensemble der Deutschen Oper Berlin, wo er unter anderem als Tamino in Die Zauberflöte, Fenton in Die lustigen Weiber von
Windsor, Evangelist in Bachs Matthäuspassion, Steuermann in Der fliegende Holländer, David in Die Meistersinger von Nürnberg, Narraboth in Salome oder als
Tscherewin in Aus einem Totenhaus regelmäßig auftritt. Auch in zeitgenössischen Opern erarbeitete er sich mit dem Regisseur Götz Friedrich Hauptrollen, so den Noboru in der Berliner
Uraufführung von Henzes Das verratene Meer, den Laios in Oedipe und König Kaspar in Menottis Amahl und die nächtlichen Besucher. Unter der Regie von Günter
Krämer gestaltete er den Janek in Die Sache Makropulos, den Chevalier in Dialoge der Karmeliterinnen oder Jakob Schmidt in Aufstieg und Fall der Stadt Mahagonny.
Weitere Stationen seines künstlerischen Werdegangs führten Clemens Bieber, unter anderem, an die Met in New York und nach Hamburg, Dresden, München, Düsseldorf, Tokyo und Stockholm.
1987 war er das erste Mal in Bayreuth zu erleben. Bisher stand er mit den Partien des David in Die Meistersinger von Nürnberg, Walther von der Vogelweide in Tannhäuser, dem
Steuermann im Fliegenden Holländer, 1. Gralsritter in Parsifal, dem Jungen Seemann in Tristan und Isolde und Froh in Der Ring des Nibelungen auf der
Bayreuther Bühne. 2009 interpretiert er den Jungen Seemann in Tristan und Isolde und Froh im Rheingold, außerdem auch den 3. Knappen in Stefan Herheims
Inszenierung von Parsifal.